Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA= ，ABEF為直角梯形，BE∥AF，∠BAF= ，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．

（1）求證：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD與平面DEF所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ABC中，AB=1，BC=2，∠CBA= ，

由余弦定理得AC= = = ．

∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB．

∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AC平面ABCD，

∴AC⊥平面ABEF．

（2）解：以A為原點，AB為x軸，AF為y軸，AC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

D（﹣1，0， ），E（1，2，0），F(xiàn)（0，3，0），

=（2，2，﹣ ）， =（1，3，﹣ ），

設(shè)平面DEF的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x= ，得 =（ ，4），

平面ABCD的法向量 =（1，0，0），

設(shè)平面ABCD與平面DEF所成二面角的平面角為θ，

則cosθ= = ，

∴sinθ= = ．

∴平面ABCD與平面DEF所成二面角的正弦值為 ．

【解析】1、由已知根據(jù)余弦定理可求得AC的值，根據(jù)勾股定理可知AC⊥AB，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AC⊥平面ABEF。
2、根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系分別求出點D、C的坐標(biāo)，再求出、的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)公式求出法向量的值，由兩個法向量所成的角即為平面ABCD與平面DEF所成二面角的平面角，利用向量的數(shù)量積運算可求出cosθ的值，進(jìn)而得到sinθ的值。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．