Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線(xiàn)2x²-2y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若M為曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，MF₂為半徑做圓M．若圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定雙曲線(xiàn)2x²-2y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），利用|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|，可知P點(diǎn)的軌跡是橢圓，從而可求C的方程；
（2）設(shè)M（x，y），d=|x|，，根據(jù)圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得，利用，可的，從而可求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍．
解答：解：（1）雙曲線(xiàn)2x²-2y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|，
∴P點(diǎn)的軌跡是橢圓，其中a=2，c=1，則，
∴C的方程為（6分）
（2）設(shè)M（x，y），d=|x|，
∵圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴d＜r，
即，
∴，
又，即，
∴，
∴，
∴（3x-4）（x+4）＜0
∴，（12分）
又-2≤x≤2，∴（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓的綜合，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義，建立不等關(guān)系，屬于中檔題．