已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+c在x=2處取得極值為c-16.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若f(x)有極大值28,求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),根據(jù)f′(2)=0,f(2)=c-16,即可求得a,b值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)求出f(x)的極大值,由極大值為28,可求出c值,然后求出f(-3),f(3),及函數(shù)在區(qū)間[-3,3]上的極值,即可求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
解答: 解:(Ⅰ)由題f(x)=ax3+bx+c,可得f′(x)=3ax2+b,又函數(shù)在點(diǎn)x=2處取得極值c-16
12a+b=0
8a+2b+c=c-16
,
解得a=1,b=-12
(II)由(I)知f(x)=x3-12x+c,f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)
令f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)=0,解得x1=-2,x2=2
當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),f′(x)>0,故f(x)在∈(-∞,-2)上為增函數(shù);當(dāng)x∈(-2,2)時(shí),f′(x)<0,故f(x)在(-2,2)上為減函數(shù);
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù);
由此可知f(x)在x1=-2處取得極大值f(-2)=16+c,f(x)在x2=2處取得極小值f(2)=c-16,
由題設(shè)條件知16+c=28得,c=12
此時(shí)f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4
因此f(x)在[-3,3]上的最小值f(2)=-4,最大值為28.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值之間的關(guān)系,屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題.
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