Question

【題目】已知橢圓，為左、右焦點(diǎn)，直線過交橢圓于，兩點(diǎn).

（1）若垂直于軸時(shí)，求；

（2）當(dāng)時(shí)，在軸上方時(shí)，求，的坐標(biāo)；

（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2），（3）存在直線或

【解析】

（1）由橢圓方程可求得右焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求得，的坐標(biāo)，即可求出；

（2）設(shè)，由，利用數(shù)量積為0可得與的方程，再由在橢圓上，得與的另一方程，聯(lián)立即可求得的坐標(biāo)，從而得到直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可求得的坐標(biāo)；

（3）設(shè)，，直線：（斜率為零時(shí)不滿足題意），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合，得，再由直線的方程：，得縱坐標(biāo)，由直線的方程：，得N的縱坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得值，從而得到直線方程．

（1）依題意，，當(dāng)軸時(shí)，則，，得；

（2）設(shè)，∵，

∴，

又在橢圓上，滿足，即，

∴，解得，即．

直線，

聯(lián)立，解得；

（3）設(shè)，，

直線：（斜率為零時(shí)不滿足題意），

則，．

聯(lián)立，得．

則，．

由直線的方程：，得縱坐標(biāo)；

由直線的方程：，得的縱坐標(biāo)．

若，即，

，

，即，

∴，解得．

∴存在直線或滿足題意．