Question

10．已知全集U=R，集合A={x|0＜log₂x＜2}，B={x|x≤3m-4或x≥8+m}（m＜6）．
（1）若m=2，求A∩（∁_UB）；
（2）若A∩（∁_UB）=∅，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）m=2時，求出集合B，根據補集與交集的定義計算即可；
（2）求出∁_UB，討論∁_UB=∅和∁_UB≠∅時，對應實數m的取值范圍．

解答 解：全集U=R，集合A={x|0＜log₂x＜2}={x|1＜x＜4}，
B={x|x≤3m-4或x≥8+m}（m＜6）；
（1）當m=2時，B={x|x≤2或x≥10}，
∴∁_UB={x|2＜x＜10}，
A∩（∁_UB）={x|2＜x＜4}；
（2）∁_UB={x|3m-4＜x＜8+m}，
當∁_UB=∅時，3m-4≥8+m，解得m≥6，不合題意，舍去；
當∁_UB≠∅時，應滿足$\left\{\begin{array}{l}{m＜6}\\{3m-4≤1}\\{8+m≥4}\end{array}\right.$，
解得-4≤m≤$\frac{5}{3}$，
∴實數m的取值范圍是-4≤m≤$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了集合的化簡與運算問題，也考查了集合的定義與應用問題，是綜合性題目．