Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）①若直線與的圖象相切, 求實數(shù)的值；

②令函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．

（2）已知不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②當時，；當時，；（2）.

【解析】

（1）①設(shè)出切點(x0，y0)，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，根據(jù)切點在切線上，列出方程組求解即可；

②首先去掉絕對值符號，將函數(shù)化成分段函數(shù)的形式，利用導數(shù)研究即可得結(jié)果；

（2）分情況討論，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值來處理，利用導數(shù)研究其最值，最后求得結(jié)果.

（1）①設(shè)切點(x0，y0)，，

所以，所以，

②因為在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且g(1)＝0．

所以h(x)＝f(x)－|g(x)|＝＝

當0＜x＜1時，，，

當x≥1時，，，

所以h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且h(x)max＝h(1)＝0．

當0＜a＜1時，h(x)max＝h(1)＝0；

當a≥1時，h(x)max＝h(a)＝lna－a＋．

（2）令F(x)＝2lnx－k(x－)，x∈(1，＋∞)．

所以．設(shè)φ(x)＝－kx2＋2x－k，

①當k≤0時，F'(x)＞0，所以F(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，又F(1)＝0，

所以不成立；

②當k＞0時，對稱軸，

當時，即k≥1，φ(1)＝2－2k≤0,所以在(1，＋∞)上，φ(x)＜0，

所以F'(x)＜0，

又F(1)＝0，所以F(x)＜0恒成立；

當時，即0＜k＜1，φ(1)＝2－2k＞0，所以在(1，＋∞)上，由φ(x)＝0，x＝x0，

所以x∈(1，x0)，φ(x)＞0，即F'(x)＞0；x∈(x0，＋∞)，φ(x)＜0，即F'(x)＜0，

所以F(x)max＝F(x0)＞F(1)＝0，所以不滿足F(x)＜0恒成立．

綜上可知：k≥1.