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【題目】已知函數（，其中e為自然對數的底數）．

（Ⅰ）若，求函數的單調遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若函數有兩個不同的零點．

（ⅰ）當時，求實數的取值范圍；

（ⅱ）設的導函數為，求證：．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）先對函數求導，得到，根據，由，即可求出單調遞增區(qū)間；

（Ⅱ）（ⅰ）先由（Ⅰ）得到，分和兩種情況討論，用導數的方法研究函數的單調性，進而可得出結果；

（ⅱ）先由題意得到，從而有，設，，構造函數，根據導數的方法研究函數的單調性，進而可證明結論成立.

（Ⅰ）由題意得，當時，令，得，函數的單調遞增區(qū)間為；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，

當時，,函數在R上單調遞增，不合題意，所以.

又時，；，，

函數有兩個零點，函數在遞減，函數在遞增， ，

，得.

（ⅱ）由題意得：

，兩式相減，得，

不妨設，，則

令，,,

在上單調遞減，，即．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）①若直線與的圖象相切, 求實數的值；

②令函數，求函數在區(qū)間上的最大值．

（2）已知不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，過其焦點的直線與拋物線相交于、兩點，滿足.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點的坐標為，記直線、的斜率分別為，，求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線是圓心在極軸上且經過極點的圓，射線與曲線交于點.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知極坐標系中兩點，，若、都在曲線上，求的值.

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【題目】如圖①，正方形的邊長為4，，，把四邊形沿折起，使得平面，是的中點，如圖②

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R,令F（x）=f（x）+g（x）．

（Ⅰ）當m=時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若關于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整數m的最小值；

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦點坐標是，過點且垂直于長軸的直線交橢圓于兩點，且.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的直線與橢圓交于不同的兩點，問三角形內切圓面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值及此時直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】以下四個命題：①命題“若，則”的逆否命題為“若，則”；②“”是“”的充分不必要條件； ③若為假命題，則均為假命題；④對于命題使得，則為，均有.其中,真命題的個數是 ( )

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，現(xiàn)有如下四個結論：

；平面；

三棱錐的體積為定值；異面直線所成的角為定值，

其中正確結論的序號是______．

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