Question

如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為D₁C₁和B₁C₁的中點(diǎn)，P、Q分別為AC與BD、
A₁C₁與EF的交點(diǎn)．
（1）求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；
（2）若A₁C與面DBFE交于點(diǎn)R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由BB₁

∥ =

DD₁可得BD

∥ =

B₁D₁，又由E、F分別為D₁C₁和B₁C₁的中點(diǎn)，可得EF

∥ =

1

2

B₁D₁，從而得證；
（2）由題意可得平面AC₁∩平面BE=PQ，再由A₁C與面DBFE交于點(diǎn)R，可得R∈平面AC₁，R∈平面BE，從而可得R∈PQ．

解答： 證明：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁

∥ =

DD₁，
∴BD

∥ =

B₁D₁，
又∵E、F分別為D₁C₁和B₁C₁的中點(diǎn)，
EF

∥ =

1

2

B₁D₁，
∴EF

∥ =

1

2

BD，
∴D、B、F、E四點(diǎn)共面．
（2）∵Q∈平面AC₁，Q∈平面BE，P∈平面AC₁，P∈平面BE，
∴平面AC₁∩平面BE=PQ，
又∵A₁C與面DBFE交于點(diǎn)R，
∴R∈平面AC₁，R∈平面BE，
∴R∈PQ，
即P、Q、R三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的識(shí)圖能力及平行性的證明與應(yīng)用，同時(shí)考查了三點(diǎn)共線的證明方法，屬于中檔題．