已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時的方程；
（2）若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點，證明：點在一個定圓上.
（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)、韋達定理等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計算能力.第一問，根據(jù)橢圓的標準方程應滿足的條件得:，且，則知橢圓的長軸在y軸上，而橢圓形狀最圓時e最小，則先得到e的表達式，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性求表達式的最小值，得到取得最小值時的的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，設出交點P的坐標，根據(jù)直線的斜率是否存在，分2種情況討論，當斜率存在時，設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關于k的方程，由于兩切線垂直，則，利用上述方程的兩根之積得到的值，整理出方程形式，再驗證當斜率不存在時P點坐標，得到最終結論.
試題解析：（1）根據(jù)已知條件有，且，故橢圓的長軸在軸上.
，當且僅當時取等號.
由于橢圓的離心率最小時其形狀最圓，故最圓的橢圓方程為.    5分
（2）設交點，過交點的直線與橢圓相切.
(1)當斜率不存在或等于零時，易得點的坐標為.    6分
(2)當斜率存在且非零時，則設斜率為，則直線：，
與橢圓方程聯(lián)立消，得：.
由相切，，
化簡整理得.①
因過橢圓外一點有兩條直線與橢圓相切，由已知兩切線垂直，故，而為方程①的兩根，
故，整理得：.
又也滿足上式，
故點的軌跡方程為，即點在定圓上.   13分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線（）與橢圓交于不同的兩點、，且線段 
的垂直平分線過定點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓的方程為，離心率為，且短軸一端點和兩焦點構成的三角形面積為1，拋物線的方程為，拋物線的焦點F與橢圓的一個頂點重合.
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）過點F的直線交拋物線于不同兩點A,B，交y軸于點N，已知的值.
（3）直線交橢圓于不同兩點P,Q，P,Q在x軸上的射影分別為P′,Q′，滿足(O為原點)，若點S滿足，判定點S是否在橢圓上，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知是橢圓上兩點，點的坐標為.
（1）當關于點對稱時，求證：；
（2）當直線經(jīng)過點時，求證：不可能為等邊三角形.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知焦點在軸上的橢圓經(jīng)過點，直線
交橢圓于不同的兩點．

（1）求該橢圓的標準方程；
（2）求實數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)，使△是以為直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如果表示焦點在軸上的橢圓，那么實數(shù)的取值范圍是（    ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過橢圓的焦點垂直于軸的弦長為，則雙曲線的離心率的值是(    )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知點為橢圓的左焦點，點為橢圓上任意一點，點的坐標為，則取最大值時，點的坐標為           ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，與過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線相交于A、B兩點．若＝3，則k＝________．

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