Question

12．在△ABC中，∠A=45°，AB=3，AC=2$\sqrt{2}$，M、N分別為AB、BC的中點，P為AC上任一點，則$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{5}{8}$

Answer 1

分析 以A為坐標原點，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，表示出各點的坐標，設點P的坐標為（x，x），0≤x≤2，表示出$\overrightarrow{MP}$=（x-$\frac{3}{2}$，x），$\overrightarrow{NP}$=（x-$\frac{5}{2}$，x-1），根據(jù)向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：以A為坐標原點，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
∵∠A=45°，AB=3，AC=2$\sqrt{2}$，M、N分別為AB、BC的中點，
∴A（0，0），B（3，0），C（2，2），M（$\frac{3}{2}$，0），N（$\frac{5}{2}$，1），
設點P的坐標為（x，x），0≤x≤2，
則$\overrightarrow{MP}$=（x-$\frac{3}{2}$，x），$\overrightarrow{NP}$=（x-$\frac{5}{2}$，x-1），
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}$=（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$）+x（x-1）
=2x²-5x+$\frac{15}{4}$=2（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{5}{8}$
當x=$\frac{5}{2}$時，$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}$取得最小值為$\frac{5}{8}$，
故選：D

點評 本題考查了向量的坐標運算和向量的數(shù)量積的運算和二次函數(shù)的性質(zhì)，關鍵是構造平面直角坐標系，屬于中檔題．