Question

16．某校舉辦“校園文化藝術(shù)節(jié)”，其中一項(xiàng)猜獎活動，參與者需先后回答兩道選擇題，問題A有三個選項(xiàng)，問題B有四個選項(xiàng)，但都只有一個選項(xiàng)是正確的，正確回答問題A可獲獎金a元，正確回答問題B可獲獎金b元，活動規(guī)定：
①參與者可任意選擇回答問題的順序；
②如果第一個問題回答錯誤，該參與者猜獎活動終止，不獲得任何獎金；
③如果第一個問題回答正確，可以選擇繼續(xù)答題，若第二題也答對，則該參與者獲得兩道題的獎金，若第二題答錯，則該參與者只能得到第一個問題獎金的一半；也可以選擇放棄答題，獲得第一題的獎金，猜獎活動終止．假設(shè)一個參與者在回答問題前，對這兩個問題都很陌生，且在第一個問題回答正確后，選擇繼續(xù)答題和放棄答題的可能性相等．
（Ⅰ）如果該參與者先回答問題A，求其恰好獲得獎金a+b元的概率；
（Ⅱ）試確定哪種回答問題的順序能使該參與者獲獎金額的期望值較大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）獲得a+b元獎金的情況是先答A，回答正確，再選擇答B(yǎng)，回條也正確，由此能求出恰好獲得獎金a+b元的概率．
（Ⅱ）設(shè)先回答A時(shí)獲得的獎金數(shù)為ξ元，先回答B(yǎng)時(shí)獲得的獎金數(shù)為η元，分別求出數(shù)學(xué)期望，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）獲得a+b元獎金的情況是：
先答A，回答正確，再選擇答B(yǎng)，回條也正確．
∴恰好獲得獎金a+b元的概率P=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$．
（Ⅱ）設(shè)先回答A時(shí)獲得的獎金數(shù)為ξ元，
ξ的分布列為：

ξ	0	$\frac{a}{2}$	a	a+b
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{24}$

Eξ=0×$\frac{2}{3}+\frac{a}{2}×\frac{1}{8}+a×\frac{1}{6}+（a+b）×\frac{1}{24}=\frac{13}{48}a+\frac{24}$．
先回答B(yǎng)時(shí)獲得的獎金數(shù)為η元，
η的分布列為：

η	0	$\frac{2}$	b	a+b
P	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{24}$

Eη=$0×\frac{3}{4}+\frac{2}×\frac{1}{12}+b×\frac{1}{8}+（a+b）×\frac{1}{24}=\frac{a}{24}+\frac{5}{24}b$，
由Eξ-Eη=$\frac{11}{48}a-\frac{4}{24}b＞0$，解得a＞$\frac{8}{11}b$，
∴當(dāng)a＞$\frac{8}{11}b$時(shí)，先選答A題，可使獲獎金額的期望較大；
當(dāng)a＜$\frac{8}{11}b$時(shí)，先選答B(yǎng)題，可使獲獎金額的期望較大；
當(dāng)a=$\frac{8}{11}b$時(shí)，先選答A題與先選答B(yǎng)，可使獲獎金額的期望較大．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．