Question

1．如圖，某簡單幾何體的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓M，AB是圓M的直徑，CF∥BE，BE⊥平面ABC，且AB=2，AC=1，BE+CF=7．
（Ⅰ）求證：AC⊥EF：
（Ⅱ）當(dāng)CF為何值時(shí)，平面AEF與平面ABC所成的銳角取得最小值？

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出CF⊥AC，AC⊥BC，從而AC⊥平面FCBE，由此能證明AC⊥EF．
（Ⅱ）分別以CA、CB、CF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用向量法能求出當(dāng)且僅當(dāng)CF=2時(shí)，平面AEF與平面ABC所成的銳角取得最小值．

解答 證明：（Ⅰ）∵CF∥BE，∴CF、BE確定一個(gè)平面FCBE，
又∵BE⊥平面ABC，∴CF⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴CF⊥AC，
在圓M中，AB為直徑，∴AC⊥BC，
∵BC∩CF=C，∴AC⊥平面FCBE，
又EF?平面FCBE，
∴AC⊥EF．
解：（Ⅱ）分別以CA、CB、CF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
設(shè)CF=a，則A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（0，0，a），E（0，$\sqrt{3}$，7-a），
則$\overrightarrow{AE}$=（-1，$\sqrt{3}，7-a$），$\overrightarrow{AF}$=（-1，0，a），
設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{m}=-x+\sqrt{3}y+（7-a）z=0}\\{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{m}=-x+az=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}a，2a-7，\sqrt{3}$），
平面ABC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3{a}^{2}+（2a-7）^{2}+3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7{a}^{2}-28a+52}}$，
∵7a²-28a+52=7（a-2）²24≥24，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，等號(hào)成立，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|_max=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{24}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)CF=2時(shí)，平面AEF與平面ABC所成的銳角取得最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．