Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-

3

sinxcos（π-x）+co²x+m，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]時，f（x）_min=2，求函數(shù)f（x）的最大值，并指出x取何值時，f（x）取得最大值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先對三角函數(shù)進行恒等變換，變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，進一步根據(jù)函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，利用最小值確定m的值，最后求出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=-

3

sinxcos（π-x）+co²x+m=

3

sinxcosx+

1+cos2x

2

+m
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

+m=sin（2x+

π

6

）+

1

2

+m
所以：函數(shù)的最小正周期為T=

2π

2

=π，
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）
（Ⅱ）x∈[-

π

6

，

π

3

]時，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
所以：f（x）_min=-

1

2

+

1

2

+m=m=2
所以解得：m=2．
當(dāng)x=

π

6

時，f(x)max=1+

1

2

+2=

7

2

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求法，函數(shù)的最值的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．