已知中心在原點的雙曲線C的離心率為
2
3
3
，一條準線方程為x=
3
2

（1）求雙曲線C的標準方程
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點），求k的取值范圍．
（1）∵
c
a
=
2
3
3
，
a2
c
=
3
2
，
∴a=
3
，c=2，
∴雙曲線方程為
x2
3
-y2=1．（4分）
（2）
y=kx+
2
x2
3
-y2=1
，
∴（1-3k2）x2-6
2
kx-9=0，
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得
1-3k2≠0
△=(6
2
k)2+36(1-3k2)
=36（1-k2）=0，
即k2≠
1
3
，且k2＜1①（6分）
x1+x2=
6
2
k
1-3k2
，x1x2=
-9
1-3k2
，
由
OA
•
OB
＞2，得x1x2+y1y2＞2，
而x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
2
)(kx2+
2)

=（k2+1）x1x2+
2
k(x1+x2)+2
=
3k2+7
3k2-1
．（8分）
于是
3k2+7
3k2-1
＞2，即
3k2-9
3k2-1
＜0，
∴
1
3
＜k2＜3，②（10分）
由①②得
1
3
＜k2＜1，
k∈(-1，-
3
3
)∪(
3
3
，1)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的離心率為
2
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點，一直線過點F1與橢圓相交于A、B兩點，且△F2AB的最大面積為
2
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，M是拋物線y2=x上的一個定點，動弦ME、MF分別與x軸交于不同的點A、B，且|MA|=|MB|．證明：直線EF的斜率為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=
4
3
，|PF2|=
14
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l過點M（-2，1），交橢圓C于A，B兩點，且M恰是A，B中點，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），離心率為
2
2
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)過點F且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G的橫坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l：y=3x+2過拋物線y=ax2（a＞0）的焦點．
（1）求拋物線方程；
（2）設(shè)拋物線的一條切線l1，若l1∥l，求切點坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，過右焦點F且斜率為
2
的直線l交橢圓E于兩點A，B，若以原點為圓心，
6
3
為半徑的圓與直線l相切
（1）求焦點F的坐標；
（2）以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OACB中，頂點C也在橢圓E上，求橢圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

附加題：已知半橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)與半橢圓
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)組成的曲線稱為“果圓”，其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0，F(xiàn)0、F1、F2是對應(yīng)的焦點．
（1）（文）若三角形F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程．
（2）（理）當|A1A2|＞|B1B2|時，求
b
a
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知直線y=x-2與拋物線y2=4x交于A、B兩點，則|AB|的值為（　�。�
A．2
6
B．4
6
C．2
3
D．4
3

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同步練習(xí)冊答案