Question

【題目】某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有（）份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為．

（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率．

（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為

（�。┰囘\(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若 ，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（ⅱ）若，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值．

參考數(shù)據(jù)：，，，，

Answer 1

【答案】（1）（2）（�。�（且）（ⅱ）4

【解析】

（1）根據(jù)古典概型概率公式即可得到結(jié)果；

（2）（ⅰ）由已知得，求出，利用 ，可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（ⅱ）由題意可知，得由可得，構(gòu)建函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)即可得到結(jié)果.

解：（1）

恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率為

（2）（�。┯梢阎�得，的所有可能取值為

,

=

若 ，則 ∴

∴ ∴

∴關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（且）

（ⅱ）由題意可知，得

，，設(shè)

，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減

又，，，，，

的最大值為4.