Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²-3x+

4

3

，直線l：ax+2y+c=0．
（1）若對任意c∈R，直線l與曲線y=f（x）不相切，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若直線l與曲線y=f（x）（0≤x≤2）相切，求實數(shù)c的取值范圍；
（3）若a=9，當x∈[0，2]，函數(shù)y=f（x）圖象在直線l的下方，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，利用配方法求出導函數(shù)的范圍，再由直線l與曲線y=f（x）不相切求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）求出函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²-3x+

4

3

在[0，2]上的切線方程，化直線l為斜截式，由截距相等得到c的函數(shù)，然后利用導數(shù)求函數(shù)在[0，2]上的值域得c得范圍；
（3）把函數(shù)y=f（x）圖象在直線l的下方轉(zhuǎn)化為不等式，分類參數(shù)c后構(gòu)造函數(shù)g（x）=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

，然后利用導數(shù)求最值，則c的范圍可求．

解答： 解：（1）由f（x）=

1

3

x³-x²-3x+

4

3

，得
f′（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4．
∵對任意c∈R，直線l與曲線y=f（x）不相切，
∴-

a

2

＜-4，解得：a＞8．
∴實數(shù)a的取值范圍是（8，+∞）；
（2）∵f′（x）=x²-2x-3，
∴f′(x0)=x02-2x0-3（0≤x₀≤2），
∴切線方程為y-

1

3

x03+x02+3x0-

4

3

=(x02-2x0-3)(x-x0)，
即y=-

2

3

x03+x02+

4

3

．
由ax+2y+c=0，得：y=-

a

2

x-

c

2

．
則-

c

2

=-

2

3

x03+x02+

4

3

．
∴c=

4

3

x03-2x02-

8

3

．
c′=4x02-4x0，
當x₀∈（0，1）時，c′0．
∴=

4

3

x03-2x02-

8

3

在（0，1）上是減函數(shù)，
在（1，2）上是增函數(shù)．
又f（0）=-

8

3

，f（1）=-

10

3

，f（2）=0．
∴c的范圍是[-

10

3

，0]；
（3）a=9，則l：9x+2y+c=0．
∵當x∈[0，2]時函數(shù)y=f（x）圖象在直線l的下方，
∴

1

3

x³-x²-3x+

4

3

＜-

9

2

x-

c

2

在x∈[0，2]時恒成立，
即c＜-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

在x∈[0，2]時恒成立，
令g（x）=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

，
∴g′（x）=-2x²+4x-3，
∵g′（x）=-2x²+4x-3＜0恒成立，
∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
函數(shù)在x∈[0，2]的最小值等于g（2）=-6．
∴c＜-6即可滿足條件．
故c的取值范圍為：（-∞，-6）．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查了函數(shù)最值的求法，訓練了函數(shù)構(gòu)造法和分離變量法，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，是壓軸題．