Question

求函數(shù)f（x）=a²x²-2a²x+1在[-1，2]的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因不知道a是否為0，所以分a=0和a≠0兩種情況討論，又因?qū)ΨQ軸把區(qū)間分成兩部分，再分別求出值域取并集．

解答： 解：分a=0和a≠0兩種情況討論，
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=1，
②當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=a²x²-2a²x+1=a²（x-1）²+1-a²，
對(duì)稱軸x=1把區(qū)間[-1，2]分成[-1，1]，（1，2]兩部分，
在[-1，1]上函數(shù)f（x）是減函數(shù)，
∴f（-1）最大為（3a²+1），f（1）最小為（1-a²），
在（1，2]上函數(shù)f（x）是增函數(shù)，f（2）最大，而f（2）＜f（-1），
綜上所述，函數(shù)f（x）=a²x²-2a²x+1在[-1，2]的值域?yàn)椋篬1-a²，3a²+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了求函數(shù)的值域問題，其中分類討論和數(shù)形結(jié)合是常見的數(shù)學(xué)方法．