Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^mx-lnx-2．
（1）若m=1，證明：存在唯一實(shí)數(shù)t∈（$\frac{1}{2}$，1），使得f′（t）=0；
（2）求證：存在0＜m＜1，使得f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）m=1時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=e^x-lnx-2，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過f′（$\frac{1}{2}$）＜0，f′（1）＞0，利用零點(diǎn)判定定理證明即可．
（2）求出f′（x）=me^mx-$\frac{1}{x}$=m（e^mx-$\frac{1}{mx}$），利用由0＜m＜1得f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由（1）得mx₀=t時(shí)，f′（x₀）=0，求出函數(shù)單調(diào)性以及最值，然后證明即可．

解答 證明：（1）m=1時(shí)，f（x）=e^x-lnx-2，f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，x＞0．
顯然f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又f′（$\frac{1}{2}$）＜0，f′（1）＞0，
故存在唯一實(shí)數(shù)t∈（$\frac{1}{2}$，1），使得f′（t）=0．…（4分）
（2）f′（x）=me^mx-$\frac{1}{x}$=m（e^mx-$\frac{1}{mx}$），
由0＜m＜1得f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
由（1）．得mx₀=t時(shí)，f′（x₀）=0，
所以f（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
即f（x）的最小值為f（x₀）=f（$\frac{t}{m}$）=e^t-lnt+lnm-2，
∵e^t-$\frac{1}{t}$=0，∴e^t=$\frac{1}{t}$，t=-lnt．
于是f（x₀）=f（$\frac{t}{m}$）=$\frac{1}{t}$+t+lnm-2，所以當(dāng)lnm＞2-（$\frac{1}{t}$+t）時(shí)，f（x）＞0．
取k=2-（$\frac{1}{t}$+t）＜0，故m∈（e^k，1）時(shí)成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．