Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)BC中點(diǎn)D作平行于AC的直線(xiàn)l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A點(diǎn)的切線(xiàn)于P，若PE=3，ED=2，EF=3，則PA的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線(xiàn)的判定定理的證明,與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段

專(zhuān)題：選作題,立體幾何

分析：根據(jù)DE∥AC利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，證出AE=BE且∠BDE=∠C．再由弦切角定理證出∠BDE=∠PAE，從而得出∠BED=∠PEA，可得△BED∽△PEA，最后利用題中數(shù)據(jù)計(jì)算線(xiàn)段的比，即可算出PA的長(zhǎng)．

解答： 解：∵D是BC的中點(diǎn)，DE∥AC，∴AE=BE，且∠BDE=∠C．
又∵PA切圓O于點(diǎn)A，∴∠PAE=∠C，可得∠BDE=∠PAE．
∵∠BED=∠PEA，
∴△BED∽△PEA，可得

ED

AE

=

BE

PE

，
∴AE²=BE•AE=PE•ED=6．
由此解出AE=

6

．
∵AE²=GE•EF，∴GE=2，
∴PG=1，
∴PA²=PG•PF=6，
∴PA=

6

．
故答案為：

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓滿(mǎn)足的條件，求線(xiàn)段PA的長(zhǎng)．著重考查了弦切角定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．