Question

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a,公差為d ( d>0 ). 數(shù)列定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，是使不等式成立的所有n中的最大值.（例如：b₁是使不等式成立的所有n中的最大值,b₂是使不等式成立的所有n中的最大值，……,如此類推).

（1）若， 求；

（2）若，求數(shù)列前2m項(xiàng)的和；

（3）是否存在等差數(shù)列，使得，若存在，求a和d的范圍；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）當(dāng)m=5時(shí),由,解得，則n的最大整數(shù)為10，

所以 =10 .   ……………………2分

（2）由，解得.

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，n的最大整數(shù)為；

當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，n的最大整數(shù)為,  所以. …………………5分

==.   …………………………………………8分

（3））假設(shè)存在等差數(shù)列，使得。由，解得。因是使不等式成立的所有n中的最大值，故

對(duì)任意正整數(shù)m都成立，變形整理可得（★）對(duì)任意正整數(shù)m都成立. …………………………11分

當(dāng)1-3d=0即d=時(shí)，要使（★）對(duì)任意正整數(shù)m都成立，還需成立，即

，故當(dāng)d=，時(shí)，滿足題意，所以存在等差數(shù)列；

②當(dāng)1-3d>0即0<d<時(shí), 不等式（★）變?yōu)?sub>，因均為確定的實(shí)數(shù)，所以m為一定范圍內(nèi)的整數(shù)，不是所有的正整數(shù)，故（★）不等式不是對(duì)任意正整數(shù)m都成立；

③當(dāng)1-3d<0即d>時(shí), 不等式（★）變?yōu)?sub>，因均為確定的實(shí)數(shù)，所以m為一定范圍內(nèi)的整數(shù)，不是所有的正整數(shù)，故（★）不等式不是對(duì)任意正整數(shù)m都成立。

綜合上述：存在等差數(shù)列滿足題意，此時(shí)d=，.  …………………16分