Question

【題目】設(shè)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)．

（1）若，求使不等式對一切恒成立的實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)的圖象過點，是否存在正數(shù)，使函數(shù)在上的最大值為0？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析

【解析】

（1）由f（1）＞0得a又a＞0，求出a＞1，判斷函數(shù)的單調(diào)性f（x）＝ax﹣a﹣x為R上的增函數(shù)，不等式整理為x2﹣（k+1）x+1＞0對一切x∈R恒成立，利用判別式法求解即可；

（2）把點代入求出a＝2，假設(shè)存在正數(shù)m，構(gòu)造函數(shù)設(shè)s＝2x﹣2﹣x則（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2＝s2﹣ms+2，對底數(shù)m進行分類討論，判斷m的值．

（1） ，由 得 ，又 ∴ .

∵ ，函數(shù)是奇函數(shù)，∴

∵ 在上為增函數(shù)，即 對一切恒成立，

即 在恒成立，有，∴

得 ，所以的取值范圍是

（2）假設(shè)存在正數(shù)符合，∵ 過 ∴

，

設(shè),

(i) 若，則函數(shù)在上最小值為1

∵ 對稱軸 ，（舍）

(ii) 若，則在上恒成立，且最大為1，最小值大于0

①

此時，故不合題意

②無解

綜上所述，不存在正數(shù)滿足條件。