Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），它的前n項(xiàng)和S_n．如果{a_n}是一個(gè)首項(xiàng)為a，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，且G_n=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²（n∈N^*），求

lim

n→∞

Sn

Gn

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：數(shù)列{an2}亦為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為a12，公比為q²，分類討論，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得

Sn

Gn

 的值，再利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求得

lim

n→∞

Sn

Gn

 的值．

解答： 解：易知數(shù)列{an2}亦為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為a12，公比為q²．
（1）當(dāng)q=1時(shí)，S_n =na₁=na，G_n=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n² =na²，∴

lim

n→∞

Sn

Gn

=

lim

n→∞

na

na2

=

1

a

．
（2）當(dāng)q≠1時(shí)，

Sn

Gn

=

a(1-qn) 1-q

a2(1-q2n) 1-q2

=

1+q

a(1+qn)

；
①當(dāng)0＜q＜1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

Gn

=

lim

n→∞

1+q

a(1+qn)

=

1+q

a

；
②當(dāng)q＞1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

Gn

=

lim

n→∞

1+q

a(1+qn)

=0．
綜上可得，當(dāng)q=1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

Gn

=

1

a

；當(dāng)0＜q＜1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

Gn

=

1+q

a

；當(dāng)q＞1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

Gn

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，數(shù)列極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．