Question

設實數(shù)a，x，y，滿足

x+y=2a-1 x2+y2=a2+2a-3

，則xy的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：通過已知條件化簡求出xy的表達式，然后利用圓心與直線的距離小于等于半徑，求出a的范圍，利用二次函數(shù)的最值，求出xy最值即可．

解答： 解：實數(shù)a，x，y，滿足

x+y=2a-1…① x2+y2=a2+2a-3…②

，
①²-②解得：2xy=3a²-6a+4，∵a²+2a-3≥0，∴a≥1或a≤-3．
又

|2a-1|

2

≤

a2+2a-3

，可得2-

2

2

≤a≤2+

2

2

，
綜上2-

2

2

≤a≤2+

2

2

令g（x）=

1

2

（3a²-6a+4），對稱軸為a=1，1∉[2-

2

2

，2+

2

2

]，
∴a=2-

2

2

是g（x）最�。�

11

4

-

3

2

2

，
∴a=2+

2

2

是g（x）最大：

11

4

+

3

2

2

．
xy∈[

11

4

-

3

2

2

，

11

4

+

3

2

2

]；
故答案為：[

11

4

-

3

2

2

，

11

4

+

3

2

2

]；

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，直線與圓的位置關系，二次函數(shù)閉區(qū)間是的最值的應用，是中檔題．