Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足對(duì)任意的n∈N^*均有a_n+1=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n成立，求證：c₁+c₂+…+c_n＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出c_n的通項(xiàng)公式，利用作差法即可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，即可證明不等式．

解答： 解：（1）∵a₂，a₅，a₁₄分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)．
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
∴d=2或d=0（舍去），
則a_n=2n-1．
又b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
則公比q=3，即b_n=3^n-1．
（2）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₂=b₁c₁，
∴c₁=3＜4，
當(dāng)n≥2，a_n+1=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n，
a_n=b₁c₁+b₂c₂+…+b_n-1c_n-1，
兩式相減得a_n+1-a_n=b_nc_n，
即c_n=

an+1-an

bn

=

2

3n-1

，（n≥2）
∴c₁+c₂+…+c_n=3+

2 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

=4-

1

3n-1

＜4成立，
所以，對(duì)于任意的c₁+c₂+…+c_n＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及數(shù)列求和，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．