Question

直線y=x+a與圓x²+y²=4交于點A，B，若（O為坐標原點），則實數(shù)a的值為 ________．

Answer 1

分析：方法1．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程代入圓的方程得2x²+2ax+a²-4=0，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，
以及兩個向量的數(shù)量積的坐標運算公式解出實數(shù)a的值．
方法2 利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出∠AOB=120°，問題等價于圓心到直線的距離等于半徑的一半，列方程求a的值．
解答：方法1．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入圓的方程得2x²+2ax+a²-4=0，
則x₁+x₂=-a，x₁x₂=，
=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=a²-4-a²+a²=a²-4=-2，
即a²=2，即．
方法2.=-2?2•2cos∠AOB=-2，即∠AOB=120°，
問題等價于圓心到直線的距離等于半徑的一半，即，故．
故答案為：
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義和坐標運算公式，一元二次方程根與系數(shù)的關系、點到直線的距離公式的應用．