Question

【題目】數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N* ． （Ⅰ）證明：數(shù)列{ }是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)bn=3n ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】證明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1）， ∴ ，
∴ ，
∴數(shù)列{ }是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
∴ ，
bn=3n =n3n ，
∴ 3n﹣1+n3n①
3n+n3n+1②
① ﹣②得 3n﹣n3n+1
=
=
∴
【解析】（Ⅰ）將nan+1=（n+1）an+n（n+1）的兩邊同除以n（n+1）得 ，由等差數(shù)列的定義得證．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n =n3n ， 利用錯(cuò)位相減求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．