Question

已知雙曲線方程為x²-4y²=16，則過點P（2，1）且與該雙曲線只有一個公共點的直線有

 

條．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：把直線與雙曲線的位置關系，轉(zhuǎn)化為方程組的解的個數(shù)來判斷，借助判別式求解．注意分類討論．

解答： 解；雙曲線方程為x²-4y²=16，化為標準形式：

x2

16

-

y2

4

=1，
當k不存在時，直線為x=2，與

x2

16

-

y2

4

=1，無公共點，
當k存在時，直線為：y=k（x-2）+1，代入雙曲線的方程可得：
（1-4k²）x²+（16k²-8k）x-16k²+16k-20=0，
（1）若1-4k²=0，k=

1

2

，時y=

1

2

x，所以無公共點，
k=-

1

2

時，y=-

1

2

x+2，與y=-

1

2

x平行，所以與雙曲線只有1個公共點，
（2）k≠±

1

2

時，△=（16k²-8k）²-4×（1-4k²）（-16k²+16k-20）=-64k+80-192k²=0
即k=

1

2

（舍去），k=-

5

6

，此時直線y=-

5

6

（x-2）+1與雙曲線相切，只有1個公共點．
綜上過點P（2，1）且與該雙曲線只有一個公共點的直線2條．
故答案為：2

點評：本題綜合考查了直線與雙曲線的位置關系，計算較復雜，化簡運算要仔細認真．