Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率e=

1

2

．過F₁的直線交橢圓于A、B 兩點，點A在x軸上方，且△ABF₂的周長為8．
（1）求橢圓E 的方程；
（2）當(dāng)AF₁、F₁F₂、AF₂ 成等比數(shù)列時，求直線AB的方程；
（3）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4 相交于點Q．試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由|AB|+|AF₂|+|BF₂|=8，解得a=2，由此能求出橢圓方程．
（2）由已知得AF₁•AF₂=4，從而AF₁=AF₂=2，△AF₁F₂ 是等邊三角形，由此能求出直線AB的方程．
（3）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得94k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理結(jié)合已知條件能求出存在定點M（1，0），符合題意．

解答： （15分）
解：（1）因為|AB|+|AF₂|+|BF₂|=8，
即|AF₁|+|F₁B|+|AF₂|+|BF₂|=8 
而|AF₁|+|AF₂|=|F₁B|+|BF₂|=2a，
∴4a=8，解得a=2，
而e=

c

a

=

1

2

，∴c=

1

2

a=1，∴b²=a²-c²=3．
所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1 
（2）∵AF₁、F₁F₂、AF₂ 成等比數(shù)列，∴AF₁•AF₂=4，
又AF₁+AF₂=4，∴AF₁=AF₂=2，△AF₁F₂ 是等邊三角形
∴直線AB 的傾斜角為

π

3

或

2π

3

，
∴直線AB 的方程為

3

x-y+

3

=0或

3

x+y+

3

=0．
（3）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得94k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，即4k²-m²+3=0 
x0=

4km

4k2+3

=-

4k

m

，y0=

3

m

，
∴P(-

4k

m

，

3

m

)，由

y=kx+m x=4

．得Q（4，4k+m），
設(shè)存在M（x₁，0），則由

MP

•

MQ

=0 
可得-

16k

m

+

4kx1

m

-4x1+x12+

12k

m

+3=0 
∴(4x1-4)

k

m

+x12-4x1+3=0，
由于對任意m，k 恒成立，聯(lián)立解得x₁=1．
故存在定點M（1，0），符合題意．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查滿足條件的點的坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．