Question

某高中為了推進(jìn)新課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一年級開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動期間同時開設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座．（規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時稱為滿座，否則稱為不滿座）統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座的概率如下表：

	信息技術(shù)	生物	化學(xué)	物理	數(shù)學(xué)
周一	1 4	1 4	1 4	1 4	1 2
周三	1 2	1 2	1 2	1 2	2 3
周五	1 3	1 3	1 3	1 3	2 3

根據(jù)上表：
（1）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率；
（2）設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一，周三，周五都不滿座位事件A，則有獨立事件同時發(fā)生的概率公式即可求得；
（2）由于題意可以知道隨機(jī)變量ξ的可能值為0，1，2，3，4，5，利用隨見變量的定義及相應(yīng)的事件的概率公式即可求得隨機(jī)變量每一個值下的概率，并列出其分布列，再有期望定義求解．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一，周三，周五都不滿座位事件A，
則P（A）=（1-

1

2

)(1-

2

3

)(1-

2

3

)=

1

18

(1-

2

3

)(1-

2

3

)=

1

18

，
（2）由題意隨機(jī)變量ξ的可能值為0，1，2，3，4，5，
P（ξ=0）=(1-

1

2

)4(1-

2

3

)=

1

48

，
P（ξ=1）=

C

1 4

• 

1

2

 •(1-

1

2

)3•(1-

2

3

)+(1-

1

2

)4•

2

3

=

1

8

，
P（ξ=2）=

C

2 4

(

1

2

)2(

1

2

)2(1-

2

3

)+

C

1 4

•

1

2

•(1-

1

2

)3•

2

3

=

7

24

，
P（ξ=3）=

C

3 4

(

1

2

)3(1-

1

2

)•(1-

2

3

)+

C

2 4

(

1

2

)2•(1-

1

2

)2•

2

3

=

1

3

，
P（ξ=4）=(

1

2

)4•(1-

2

3

)+

C

3 4

(

1

2

)3•(1-

1

2

)•

2

3

=

3

16

，
P （ξ=5）=(

1

2

)4•

2

3

=

1

24

，
所以隨機(jī)變量的分布列為：

故Eξ=0×

1

48

+1×

1

8

+2×

7

24

+3×

1

3

+4×

3

16

+5×

1

24

=

8

3

．

點評：此題屬于中檔題型，重在理解題意并分型事件的類型用準(zhǔn)概率公式，考查了隨機(jī)變量的定義及其分布列，還考查了隨機(jī)變量的期望公式及計算能力．