Question

【題目】如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結(jié)合線面角的正弦值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得線面角的余弦值.

(1)如圖所示，連結(jié)，

等邊中，，則，

平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，

由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，

由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，

由線面垂直的判定定理可得：平面，

結(jié)合平面，故.

(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，,，

據(jù)此可得：，

由可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，由于，

故直線EF的方向向量為：

設(shè)平面的法向量為，則：

，

據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，

此時(shí)，

設(shè)直線EF與平面所成角為，則.