Question

已知函數f（x）=mx-

m-1+2e

x

-lnx，g（x）=

1

x

+lnx．
（1）當m=0時，求函數f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若當x∈[1，e]時，至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求出m=0的函數f（x）的導數，令導數大于0，得到增區(qū)間，令導數小于0，得到減區(qū)間，注意函數的定義域，從而得到極值；
（2）當x=1時，f（1）＜g（1）；當x∈（1，e]時，由f（x）＞g（x），得m＞

2e+2xlnx

x2-1

，構造函數h（x）=

2e+2xlnx

x2-1

，求出導數，判斷單調性，確定函數的最小值，即可求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）當m=0時，f（x）=

1-2e

x

-lnx，
f′（x）=

2e-1

x2

-

1

x

=

(2e-1)-x

x2

（x＞0），
當0＜x＜2e-1時，f′（x）＞0，當x=2e-1時，f′（x）=0，當x＞2e-1時，f′（x）＜0，
則函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，2e-1），單調遞減區(qū)間是（2e-1，+∞），
故f（x）的極大值為f（2e-1）=-1-ln（2e-1），無極小值；
（2）當x=1時，f（1）=m-（m-1+2e）=1-2e，g（1）=1，則f（1）＜g（1），
當x∈（1，e]時，由f（x）＞g（x），分離參數得，m＞

2e+2xlnx

x2-1

，
令h（x）=

2e+2xlnx

x2-1

，則h′（x）=

(-2x2-2)lnx+(2x2-4ex-2)

(x2-1)2

，
由于x∈（1，e]，則0＜lnx≤1，即有（-2x²-2）lnx＜0，
2x²-4ex-2=2（x-e）²-2-2e²＜0，
則h′（x）＜0，即有h（x）在（1，e]上遞減，
即有h（x）_min=h（e）=

4e

e2-1

，
綜上，要使當x∈[1，e]時，至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
只需m＞

4e

e2-1

．

點評：本題考查導數的求法及綜合應用、不等式中在存在解的狀況下的參數范圍的求法，考查學生運算能力、思維能力和解決問題的能力，屬于中檔題．