Question

【題目】已知平面內兩個定點和點，是動點，且直線,的斜率乘積為常數，設點的軌跡為.

① 存在常數，使上所有點到兩點距離之和為定值；

② 存在常數，使上所有點到兩點距離之和為定值；

③ 不存在常數，使上所有點到兩點距離差的絕對值為定值；

④ 不存在常數，使上所有點到兩點距離差的絕對值為定值.

其中正確的命題是_______________.（填出所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】②④

【解析】

由題意首先求得點P的軌跡方程，然后結合雙曲線方程的性質和橢圓方程的性質考查所給的說法是否正確即可.

設點P的坐標為：P（x，y），

依題意，有：，

整理，得：，

對于①，點的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，且c＝4，a＜0，

橢圓在x軸上兩頂點的距離為：2＝6，焦點為：2×4＝8，不符；

對于②，點的軌跡為焦點在y軸上的橢圓，且c＝4，

橢圓方程為：，則，解得：，符合；

對于③，當時，，所以，存在滿足題意的實數a，③錯誤；

對于④，點的軌跡為焦點在y軸上的雙曲線，即，

不可能成為焦點在y軸上的雙曲線，

所以，不存在滿足題意的實數a，正確.

所以，正確命題的序號是②④.