Question

如圖，在半徑為10

3

cm的半圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點A、B在直徑上，點C、D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計剪裁和拼接損耗），記圓柱形罐子的體積為V（cm³）．
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)AD=xcm，將V表示為x的函數(shù)；
②設(shè)∠AOD=θ（rad），將V表示為θ的函數(shù)；
（2）請您選用（1）問中的一個函數(shù)關(guān)系，求圓柱形罐子的最大體積．

Answer 1

考點：組合幾何體的面積、體積問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出AB，可得r，即可求出V；
（2）分別選用這兩個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，即可求圓柱形罐子的最大體積．

解答： 解：（1）①AB=2

(10 3 )2-x2

=2πr，∴r=

300-x2

π

，
∴V=f(x)=π(

300-x2

π

)2•x=

1

π

(-x3+300x)，（0＜x＜10

3

）   …（4分）
②AD=10

3

sinθ，AB=20

3

cosθ=2πr，r=

10 3 cosθ

π

，
∴V=

3000 3

π

sinθcos2θ（0＜θ＜

π

2

）…（8分）
（2）選用f（x）：f′（x）=-

3

π

（x+10）（x-10）（0＜x＜10

3

），
令f'（x）=0，則x=10…（10分）
列表得：

x	（0，10）	10	（10，10 3 ）
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)增	極大值	單調(diào)減

…（13分）
∴f（x）_max=f（10）=

2000

π

選用g）θ）：令t=sinθ，0＜t＜1，h（t）=

3000 3

π

t(1-t2)
∴h′（t）=-

9000 3

π

（t+

3

3

）（t-

3

3

），
令 h'（t）=0，則t=

3

3

…（10分）
列表得：

t	（0， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，1）
h′（t）	+	0	-
h（t）	單調(diào)增	極大值	單調(diào)減

…（13分）
∴h（t）_max=h（

3

3

）=

2000

π

，即g(θ)max=

2000

π

…（15分）
（對g（θ）直接求導(dǎo)求解也得分，g′(θ)=

3000 3 cosθ(1- 3 sinθ)(1+ 3 sinθ)

π

）
答：圓柱形罐子的最大體積為

2000

π

．

點評：本題綜合考查了三次函數(shù)、三角函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．