Question

已知點(diǎn)A、B是拋物線y²=4x上的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

•

OB

=0，直線AB交x軸于點(diǎn)C，則|

OC

|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出A，B的坐標(biāo)，討論直線斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用消元法得到關(guān)于x的一元二次方程，由

OA

•

OB

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，建立關(guān)于參數(shù)k，b的關(guān)系，消去b可得直線恒過(guò)（4，0），可得C的坐標(biāo)，即可得到向量OC的模，再考慮斜率不存在，同樣可得C的坐標(biāo)和向量OC的模．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（1）當(dāng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．
聯(lián)立方程得：

y=kx+b y2=4x

，消去y得k²x²+（2kb-4）x+b²=0
則x₁x₂=

b2

k2

，
由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
則y₁y₂=4•

b

k

，
又

OA

•

OB

=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即

b2

k2

+

4b

k

=0，
解得b=0（舍去）或b=-4k，
故直線l的方程為：y=kx-k=k（x-4），故直線過(guò)定點(diǎn)（4，0），
則有C（4，0），則|

OC

|=4．
（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，設(shè)它的方程為x=m，顯然m＞0，
聯(lián)立方程得：

x=m y2=4x

解得 y=±2

m

，即y₁y₂=-4m
又因?yàn)?span id="fqll7kq" class="MathJye">

OA

•

OB

=0，所以可得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-4m=0，
解得m=0（舍去）或m=4
可知直線l方程為：x=4，
故直線過(guò)定點(diǎn)（4，0）．
即有C（4，0），則|

OC

|=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量垂直的條件，同時(shí)考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，屬于中檔題．