已知向量
a
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),
b
=(cos
3x
2
,sin
3x
2
),f(x)=
a
b
+t|
a
+
b
|,x∈[0,
π
2
].
(Ⅰ)若f(
π
3
)=-
9
2
,求函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程f(x)+2=0有兩個不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
考點(diǎn):三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦函數(shù)的圖象
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(Ⅰ)分別表示出
a
b
和|a+b|,進(jìn)而利用二倍角公式對函數(shù)解析式化簡,根據(jù)f(
π
3
)=-
9
2
求得t,則函數(shù)解析式可得,進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定f(x)的范圍.
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)中f(x)的解析式,寫出方程,利用換元法轉(zhuǎn)化成一元二次方程的問題,利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定t的范圍.
解答: 解:(Ⅰ)
a
b
=cos
x
2
cos
3
2
x-sin
x
2
sin
3
2
x=cos2x,
|
a
+
b
|2=1+2cos2x+1=2(1+cos2x)=4cos2x,
|a+b|=2cosx,x∈[0,
π
2
].
∴f(x)=cos2x+2tcosx,
∵f(
π
3
)=-
9
2
,∴-
1
2
+2t
1
2
=-
9
2
,
∴t=-4,
∴f(x)=cos2x-8cosx=2cos2x-8cosx-1=2(cosx-2)2-9,x∈[0,
π
2
].
∴cosx∈[0,1],f(x)∈[-7,-1].
(Ⅱ)由f(x)+2=0,得2cos2x+2tcosx+1=0,
令u=cosx,∵x∈[0,
π
2
].
∴u∈[0,1],
∵關(guān)于x的方程f(x)+2=0有兩個不同的實(shí)數(shù)解,
∴2u2+2tu+1=0,u∈[0,1]有兩個不同實(shí)數(shù)解,
△=4t2-8>0
0<-
2t
4
<1
F(0)=1≥0
F(1)=2+2t+1≥0
,解得-
3
2
≤t<-
2
點(diǎn)評:本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.注意換元法和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)
a
b
是任意的非零向量,且相互不共線,則下列真命題的個數(shù)為( 。
①(
a
b
)•
c
-(
c
a
)•
b
=0;②|
a
|+|
b
|>|
a
-
b
|;③|
a
+
b
|•
c
=|
a
c
+
b
c
|;
④對于平面內(nèi)的任意一組向量
a
,
b
c
存在唯一實(shí)數(shù)組λ,μ,γ使γ
c
a
b
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若x>y>0,則下列不等式正確的是( 。
A、3x<3y
B、
1
x
1
y
C、lnx<lny
D、(
1
4
x>(
1
4
y

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P在拋物線y2=8x上,那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(3,-1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 。
A、(
1
4
,-1)
B、(
1
8
,-1)
C、(3,2
6
D、(3,-2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

平面向量
a
b
的夾角為60°,
a
=(1,0),|
b
|=1,則
a
•(
a
-3
b
)等于(  )
A、
1
2
B、-
1
2
C、
5
2
D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+c(a,c∈R)的圖象在x=1處的切線斜率為4.
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)圖象過點(diǎn)(0,-2),求f(x)的最大值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=[f(x)-x3]•ex,若函數(shù)g(x)在x∈[-2,3]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

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為弘揚(yáng)“樂于助人,與人為善”中華傳統(tǒng)美德,某社區(qū)組織了一個40人的社區(qū)志愿者服務(wù)團(tuán)隊(duì),他們在一個月內(nèi)參加社區(qū)公益活動的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如表所示:
活動次數(shù)123
參加人數(shù)51520
(1)從該服務(wù)團(tuán)隊(duì)中任意選3名志愿者,求這3名志愿者中至少有兩名志愿者參加活動次數(shù)簽好相等的概率;
(2)從該服務(wù)團(tuán)隊(duì)中任選兩名志愿者,用X表示這兩人參加活動次數(shù)只差的絕對值,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a(x+
1
x
)+2lnx,g(x)=x2
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(Ⅱ)若?x1[e-1,e],?x2[-1,2],使不等式f(x1)>g(x2)成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,已知AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于H,M為AH的中點(diǎn),若
AM
AB
BC
,則λ+μ=
 

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