Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+c（a，c∈R）的圖象在x=1處的切線斜率為4．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）圖象過(guò)點(diǎn)（0，-2），求f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）-x³]•e^x，若函數(shù)g（x）在x∈[-2，3]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)f′（x），由f′（1）=4，求出a，同時(shí)求出c，令f′（x）大于0，小于0，求出單調(diào)區(qū)間，求出最大值；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)g′（x），由條件可得x²+x+c-1≥0在[-2，3]上恒成立，再由參數(shù)分離，求出二次函數(shù)的最值，即可得到c的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²-x+c（a，c∈R），得 f′（x）=3x²+2ax-1，
由題意知，f′（1）=3+2a-1=4，a=1．　　　
函數(shù)f（x）圖象過(guò)點(diǎn)（0，-2），∴c=-2，
∴f（x）=x³+x²-x-2，f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
f（x）在（-∞，-1），（

1

3

，+∞）上為增函數(shù)，在（-1，

1

3

）上為減函數(shù)，
∴f（x）在x=-1時(shí)取得最大值，且最大值為-1；　　　
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=（f（x）-x³）•e^x=（x²-x+c）•e^x，
有g(shù)′（x）=（2x-1）•e^x+（x²-x+c）•e^x=（x²+x+c-1）•e^x，
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，3]上單調(diào)遞增，
等價(jià)于x²+x+c-1≥0在[-2，3]上恒成立，∴c-1≥（-x²-x）_max，
而當(dāng)x∈[-2，3]時(shí)，（-x²-x）_max=

1

4

，此時(shí)x=-

1

2

，
∴c-1≥

1

4

即c≥

5

4

，
∴c的取值范圍是：[

5

4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、求最值，考查參數(shù)分離、二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，是一道中檔題．