Question

設f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf′（x）≤f（x），對任意的正數a，b（a≤b），
有下列四個命題：
①af（a）≤bf（b）；
②af（a）≥bf（b）；
③af（b）≥bf（a）；
④af（b）≤bf（a）中，
真命題的個數是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：構造函數g（x）=

f(x)

x

（x＞0）．利用導數和已知xf′（x）≤f（x），即可得出單調性，進而判斷出．

解答： 解：∵xf′（x）≤f（x），
令g（x）=

f(x)

x

（x＞0）．
則g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

≤0，
∴函數g（x）在（0，+∞）上單調遞減．
∵0＜a≤b，
∴g（a）≥g（b），
∴

f(a)

a

≥

f(b)

b

，
即bf（a）≥af（b）．
只有④正確．
故答案為：1．

點評：本題考查了通過構造函數利用導數研究函數的單調性的方法，考查了推理能力，屬于中檔題．