Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+sinxcosx．
（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）已知cos（β-α）=，cos（β+α）=-，0＜α＜β≤，求f（）的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=cos²x+sinxcosx=+-=sin（2x+）．
∵x∈[0，]，∴≤2x+≤，∴-≤sin（2x+）≤1，∴f（x）的最大值為1，
此時(shí)，2x+=，x=，故f（x）取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的值為x=．
（Ⅱ）∵cos（β-α）=，cos（β+α）=-，0＜α＜β≤，∴sin（β-α）=，sin（β+α）=．
∴f（）=sin2β=sin[（β+α）+（β-α）]=sin（β+α）•cos（β-α）+cos（β+α）•sin（β-α）
=×+（-）×=．
分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為sin（2x+），由 x∈[0，]，求得 ≤2x+≤，從而求得 f（x）的最大值以及最大值時(shí)相應(yīng)的x的值．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出 sin（β-α）=，sin（β+α）=，再根據(jù) f（）=sin2β=sin[（β+α）+（β-α）]，利用兩角和的正弦公式求出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．