Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）在（1）中， 取最小值時(shí)，設(shè)函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明不等式： （且）.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）原題等價(jià)于恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得出差在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ，可得結(jié)論；（2）由（1）可得關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即，令，利用二次求導(dǎo)可得當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，計(jì)算出端點(diǎn)值和極值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由（1）中的結(jié)論，令，則有，整理可得，當(dāng)時(shí)，利用累加法可得結(jié)論成立.

試題解析：(1)由題意知， 恒成立.變形得： .

設(shè)，則，由可知， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 在處取得最大值，且.

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(2)由(1)可知， ，當(dāng)時(shí)， ，

，

在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 整理方程得， ，令， ， 令， ，

則， ，于是， 在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)， ，從而， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ，從而， 單調(diào)遞增，

， ， ，

因?yàn)?/span>，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(3)由(1)可知，當(dāng)時(shí)，有，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

令，則有，其中 .

整理得： ，

當(dāng)時(shí)，

， ， ， ，

上面個(gè)式子累加得： . 且，

即.命題得證.