Question

【題目】如圖，四邊形與都是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)， 平面.

（1）求證： 平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求平面與平面所成銳二面角的正切值.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3) .

【解析】試題分析：證明線面平行，利用線面平行的判定定理.本題借助三角形中位線定理可以得到線線平行，進(jìn)而證明線面平行；證明面面垂直，利用面面垂直的判定定理，證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，因此首先尋求線面垂直，只需證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，進(jìn)而說(shuō)明線面垂直，進(jìn)而達(dá)到面面垂直；求二面角可利用法向量計(jì)算.

試題解析：

（1）設(shè)交于，連接為正方形，所以為中點(diǎn)，

又為的中點(diǎn)， 為的中位線， ，

又平面平面，

平面.

（2）為正方形，

平面平面

又平面.

平面

平面平面.

（3）由（2）已證平面平面

，平面平面

銳角為平面與平面所成銳二面角的平面交

平面，

在邊長(zhǎng)為的正方形中，而

為所求.

法二：依條件有，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有

平面 平面的一個(gè)法向量為

，設(shè)平面的一個(gè)法向量為

則，可取

設(shè)平面與平面所成銳二面角大小為，

則，

為所求.