Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=sinθ．直線l過點(diǎn)（-1，2）且傾斜角為

3π

4

．
（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系下，求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）已知直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=sinθ．化為ρ²cos²θ=ρsinθ，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出．由直線l過點(diǎn)（-1，2）且傾斜角為

3π

4

，可得參數(shù)方程為

x=-1+tcos 3π 4 y=2+tsin 3π 4

．
（II）把直線l代入拋物線方程可得t2+

2

t-2=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．

解答： 解：（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=sinθ．化為ρ²cos²θ=ρsinθ，∴x²=y．
由直線l過點(diǎn)（-1，2）且傾斜角為

3π

4

，可得參數(shù)方程為

x=-1- 2 2 t y=2+ 2 2 t

．
（II）把直線l代入拋物線方程可得t2+

2

t-2=0，
∴t1+t2=-

2

，t₁t₂=-2．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

2+8

=

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程、弦長(zhǎng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．