Question

函數(shù)f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域為（　�。�

• A、[1，

  5

  ]
• B、[1，2]
• C、[2，

  5

  ]
• D、[

  5

  ，3]

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由函數(shù)的奇偶性的定義可得f（x）為偶函數(shù)，再由周期函數(shù)的定義可得f（x）為最小正周期為π的函數(shù)，再由對稱性可得f（x）關(guān)于x=

π

2

對稱，求出[0，

π

2

]內(nèi)的值域即可．運用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值即可得到．

解答： 解：函數(shù)f（x）的定義域為R，
f（-x）=|sin（-x）|+2|cos（-x）|=|sinx|+2|cosx|=f（x），
即有f（x）為偶函數(shù)，
由f（x+π）=|sin（x+π）|+2|cos（x+π）|=|-sinx|+2|cosx|=f（x），
即有f（x）為最小正周期為π的函數(shù)，
又f（x+π）=f（x）=f（-x），
則f（x）關(guān)于x=

π

2

對稱，只要考慮x∈[0，

π

2

]的值域即可．
當(dāng)0≤x≤

π

2

時，f（x）=sinx+2cosx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=cosx-2sinx，f′（x）=0，解得x=arctan

1

2

，
當(dāng)0≤x＜arctan

1

2

，f′（x）＞0，f（x）遞增；arctan

1

2

＜x≤

π

2

時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則x=arctan

1

2

處取得極大值，也為最大值，且為

5

，
f（0）=2，f（

π

2

）=1，即f（x）最小值為1．
即值域為[1，

5

]．
故選A．

點評：本題考查三角函數(shù)的值域的求法，注意運用函數(shù)的奇偶性和周期性以及對稱性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運用，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，屬于中檔題和易錯題．