Question

【題目】如圖，三棱柱的側(cè)面是邊長為1的正方形，側(cè)面側(cè)面是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角為45°，若存在，求的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；（3）在建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合二面角的大小建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）證明：連接與相交于，則為的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?/span>平面平面，

所以平面

（2）證明：，在中，．

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)閭?cè)面側(cè)面，側(cè)面側(cè)面，

平面，所以平面

（3）解：

兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，

假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使二面角為，

平面的法向量，設(shè)，．

所以，

設(shè)平面的法向量為，

則，所以，

令，得，所以的法向量為．

因?yàn)?/span>，所以，解得，故，

因此在線段上存在一點(diǎn)，使二面角為，且