【題目】如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間,使得該函數(shù)在區(qū)間上的值域為,則稱函數(shù)是該定義域上的“和諧函數(shù)”.
(1)求證:函數(shù)是“和諧函數(shù)”;
(2)若函數(shù)是“和諧函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)利用“和諧函數(shù)”的定義將問題轉化為,再驗證進行求解;(2)利用“和諧函數(shù)”的定義將問題轉化為和的圖像至少有2個交點,再利用整體換元和數(shù)形結合思想進行求解.
試題解析:(1)要證:存在區(qū)間使得在上的值域為,
又由于是一個單調(diào)遞増的函數(shù),且定義域為
故只需證存在實數(shù)滿足,且有
觀察得,
即存在符合題意
故函數(shù)是“和諧函數(shù)”
(2)由題,即存在實數(shù)滿足,使得在區(qū)間上的值域為,
由于單調(diào)遞増,從而有,
該方程組等價于方程在有至少2個解,
即在上至少有2個解,
即和的圖像至少有2個交點,
記,則,從而有,
記,配方得,
又,作出的圖像可知, 時有兩個交點,
綜上, 的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面有命題:
①y=|sinx-|的周期是2π;
②y=sinx+sin|x|的值域是[0,2] ;
③方程cosx=lgx有三解;
④為正實數(shù),在上遞增,那么的取值范圍是;
⑤在y=3sin(2x+)中,若f(x)=f(x2)=0,則x1-x2必為的整數(shù)倍;
⑥若A、B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角,則點P(cosB-sinA,sinB-cosA)在第二象限;
⑦在中,若,則鈍角三角形。
其中真命題個數(shù)為( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【題目】如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點D是AB的中點.
(1)求證:AC⊥BC1;
(2)求證:AC1∥平面CDB1;
(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.
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【題目】已知F1(﹣c,0)、F2(c,0)分別是橢圓G: 的左、右焦點,點M是橢圓上一點,且MF2⊥F1F2 , |MF1|﹣|MF2|= a.
(1)求橢圓G的方程;
(2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點,以AB為底作等腰三角形,頂點為P(﹣3,2),求△PAB的面積.
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【題目】設是兩條不同的直線, 是三個不同的平面,給出下列四個命題:
①若,則 ②若,則
③若,則 ④若,則
其中正確命題的序號是( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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【題目】如圖,等邊三角形的中線與中位線相交于,已知是繞旋轉過程中的一個圖形,給出以下四個命題:①平面;②平面平面;③動點在平面上的射影在線段上;④異面直線與不可能垂直. 其中正確命題的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C對應的邊分別是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△ABC的面積S=5 ,b=5,求sinBsinC的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)當時,證明:函數(shù)的零點與函數(shù)的零點之和小于3;
(2)若對任意, , ,求的取值范圍.
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