Question

已知函數(shù)f（x）=x-[x]，其中[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x）=kx+k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)[x]的定義，分別作出函數(shù)f（x）和g（x）=kx+k的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，[x]=-2，此時(shí)f（x）=x-[x]=x+2．
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，[x]=-1，此時(shí)f（x）=x-[x]=x+1．
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，[x]=0，此時(shí)f（x）=x-[x]=x．
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，[x]=1，此時(shí)f（x）=x-[x]=x-1．
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，[x]=2，此時(shí)f（x）=x-[x]=x-2．
當(dāng)3≤x＜4時(shí)，[x]=3，此時(shí)f（x）=x-[x]=x-3．
設(shè)g（x）=kx+k=k（x+1），則g（x）過定點(diǎn)（-1，0），
坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f（x）和g（x）的圖象如圖：
當(dāng)g（x）經(jīng)過點(diǎn)A（-3，1），D（3，1）時(shí)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B（-2，1），C（2，1）時(shí)，有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
則AP的斜率k=-

1

2

，BP的斜率k=-1，PC的斜率k=

1

3

，PD的斜率k=

1

4

，
故滿足條件的斜率k的取值范圍是-1＜k≤-

1

2

或

1

4

≤k＜

1

3

，
故答案為：（-1，-

1

2

]∪[

1

4

，

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解決本題的根據(jù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本思想．