求證：函數(shù)f（x）=x2+|x+a|+1是偶函數(shù)的充要條件是a=0．
考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：分別從充分性和必要性兩個方面利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行證明．
解答： 證明：充分性：若a=0，則函數(shù)f（x）=x2+|x+a|+1是偶函數(shù)．
因為a=0，所以f（x）=x2+|x|+1（x∈R），
又因為f（-x）=（-x）2+|-x|+1=x2+|x|+1，所以f（x）是偶函數(shù)．
必要性：若f（x）=x2+|x+a|+1是偶函數(shù)，則a=0．
因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），即
（-x）2+|-x+a|+1=x2+|x+a|+1，
所以x2+|x-a|+1=x2+|x+a|+1，
從而|x-a|=|x+a|，因此（x-a）2=（x+a）2，
展開整理，得ax=0．因為x∈R，所以a=0．
點(diǎn)評：本題考查了充要條件的命題證明以及函數(shù)奇偶性的證明；對于充要條件的證明要分別從充分性和必要性兩個方面分別證明．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的圖象如圖所示，其中ω＞0，|φ|＜
π
2
，則為了得到函數(shù)g（x）=sin2x的圖象，只須把函數(shù)f（x）的圖象（　�。�
A、向右平移
π
6
個單位
B、向右平移
π
12
個單位
C、向左平移
π
6
個單位
D、向左平移
π
12
個單位

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算或化簡下列各式：
（1）
3xy2
6x5
•
4y3
（x＞0，y＞0）（結(jié)果用指數(shù)表示）
（2）log84+log26-log25•log259+2-log23．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x2-mx+m+2是偶函數(shù)，則m=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若cosB是方程3x2-10x+3=0的一個根，求sinC的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不等式x2-ax+b＜0的解集為（-2，1），則a+b=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面．給出下列四個命題：
①若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n；
②若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n；
③若m∥α，m∥n，則n∥α；　　   
④若α∥β，m⊥α，n∥β，則m⊥n．
則正確的命題為
 
．（填寫命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是R上的函數(shù)，且滿足f（0）=1，并且對任意實數(shù)x，y，有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，設(shè)a1為首項，其前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)m、n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，且2S6＞S3．
（Ⅰ）設(shè){an}為等差數(shù)列，且公差為d，求a1和d的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè){an}為等比數(shù)列，且公比為q（q＞0且q≠1），求a1和q 的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案