Question

如圖，曲線C由上半橢圓C₁：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分拋物線C₂：y＝－x²＋1(y≤0)連接而成，C₁與C₂的公共點為A，B，其中C₁的離心率為.

(1)求a，b的值；

(2)過點B的直線l與C₁，C₂分別交于點P，Q(均異于點A，B)，若AP⊥AQ，求直線l的方程．

 

Answer 1

解　(1)在C₁，C₂的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1,0)，B(1,0)是上半橢圓C₁的左右頂點．

設(shè)C₁的半焦距為c，由＝及a²－c²＝b²＝1得a＝2.∴a＝2，b＝1.

(2)由(1)知，上半橢圓C₁的方程為＋x²＝1(y≥0)．

易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x－1)(k≠0)，

代入C₁的方程，整理得(k²＋4)x²－2k²x＋k²－4＝0.(*)

設(shè)點P的坐標(biāo)為(x_P，y_P)，

∵直線l過點B，∴x＝1是方程(*)的一個根，

∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.

經(jīng)檢驗，k＝－符合題意，

故直線l的方程為y＝－(x－1)，

即8x＋3y－8＝0.