【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，

（1）證明：；

（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

分析：（Ⅰ）由題意可得．兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)可證得．（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)在棱上可設(shè)，再由，得，由此可得，從而可得．然后可求得平面的法向量為，又平面的一個(gè)法向量，可得，然后結(jié)合圖形可得所求．

詳解：（Ⅰ）證明：底面， 平面，面，

∴，，

又，

∴．兩兩垂直．

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則由題意得，

∴，

∴，

∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,．

由點(diǎn)在棱上，

設(shè)，，

，

,

解得，

∴．

設(shè)平面的法向量為，則

由，得，

令，得．

由題意取平面的一個(gè)法向量．

∴，

由圖形知二面角是銳角，

所以二面角的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】第一屆“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇于2017年5月14日至15日在北京舉行，這是2017年我國(guó)重要的主場(chǎng)外交活動(dòng)，對(duì)推動(dòng)國(guó)際和地區(qū)合作具有重要意義．某高中政教處為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“一帶一路”的關(guān)注情況，在全校組織了“一帶一路知多少”的知識(shí)問卷測(cè)試，并從中隨機(jī)抽取了12份問卷，得到其測(cè)試成績(jī)（百分制），如莖葉圖所示．

（1）寫出該樣本的眾數(shù)、中位數(shù)，若該校共有3000名學(xué)生，試估計(jì)該校測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)；

（2）從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人．

①記表示選取4人的成績(jī)的平均數(shù)，求；

②記表示測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)，求的分布和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，解不等式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】省農(nóng)科站要檢測(cè)某品牌種子的發(fā)芽率，計(jì)劃采用隨機(jī)數(shù)表法從該品牌粒種子中抽取粒進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)將這粒種子編號(hào)如下，，，，若從隨機(jī)數(shù)表第行第列的數(shù)開始向右讀，則所抽取的第粒種子的編號(hào)是 ．（下表是隨機(jī)數(shù)表第行至第行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），若以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓的極坐標(biāo)方程為，設(shè)是圓上任一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)到，使.

(1)求點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線與點(diǎn)軌跡相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了對(duì)2016年某校中考成績(jī)進(jìn)行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（已折算為百分制）從小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分?jǐn)?shù)從小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95． 參考公式：相關(guān)系數(shù) ，
回歸直線方程是： ，其中 ，
參考數(shù)據(jù)： ， ， ， ．
（1）若規(guī)定85分以上為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；
（2）若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)事實(shí)上對(duì)應(yīng)如下表：

學(xué)生編號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x

60

65

70

75

80

85

90

95

物理分?jǐn)?shù)y

72

77

80

84

88

90

93

95

化學(xué)分?jǐn)?shù)z

67

72

76

80

84

87

90

92

①用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度；
②求y與x、z與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），當(dāng)某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分時(shí)，估計(jì)其物理、化學(xué)兩科的得分．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，表示的面積

（1）若求；

（2）若，，，證明:；

（3）若，，，其中，且坐標(biāo)原點(diǎn)恰好為的重心，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題正確的有________(只填序號(hào))

①若直線與平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi);

②若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥α;

③若兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行,則另一條直線一定與該平面相交;

④若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面;

⑤若平面α∥平面β,直線aα,直線bβ,則直線a∥b.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，直線過點(diǎn).

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線的方程.

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