Question

某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當(dāng)科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試．已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為

2

3

，科目B每次考試成績合格的概率均為

1

2

．假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響．
（1）求他不需要補考就可獲得證書的概率；
（2）在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A₁，“科目A補考合格”為事件A₂，“科目B第一次考試合格”為事件B₁，“科目B補考合格”為事件B₂，不需要補考就獲得證書的事件為A₁•B₁，A₁與B₁相互獨立，由此能求出考生不需要補考就獲得證書的概率．
（2）由已知得，ξ=2，3，4，各事件之間的獨立性與互斥性，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A₁，“科目A補考合格”為事件A₂，
“科目B第一次考試合格”為事件B₁，“科目B補考合格”為事件B₂…（1分）
不需要補考就獲得證書的事件為A₁•B₁，
∵A₁與B₁相互獨立，
∴P(A1•B1)=P(A1)×P(B1)=

2

3

×

1

2

=

1

3

．
該考生不需要補考就獲得證書的概率為

1

3

…（4分）
（2）由已知得，ξ=2，3，4，各事件之間的獨立性與互斥性，
P(ξ=2)=P(A1•B1)+P(

.

A1

•

.

A2

)=

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

1

3

+

1

9

=

4

9

．…（6分）P(ξ=3)=P(A1•

.

B1

•B2)+P(A1•

.

B1

•

.

B2

)+P(

.

A1

•A2•B1)=

2

3

×

1

2

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

=

1

6

+

1

6

+

1

9

=

4

9

，（8分）P(ξ=4)=P(

.

A1

•A2•

.

B1

•B2)+P(

.

A1

•A2•

.

B1

•

.

B2

)=

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

18

+

1

18

=

1

9

，（10分）
故ξ的分布列為

ξ	2	3	4
P	4 9	4 9	1 9

故Eξ=2×

4

9

+3×

4

9

+4×

1

9

=

8

3

．
答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

8

3

（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要注意互相獨立事件的概率乘法公式的合理運用．