Question

求棱長為

2

a的正四面體的外接球半徑和內(nèi)切球半徑．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：如圖，ABCD是棱長為

2

a的正四面體 作AO₁⊥平面BCD于O₁，則O₁為△BCD的中心，求出AO₁=

2 3

3

a．在平面ABO₁內(nèi)作AB的垂直平分線交AO₁于O，求出AO=

3

2

a．由OO₁=AO₁-AO=

3

6

a．正四面體的外接球半徑R=AO，內(nèi)切球半徑r=OO₁．

解答： 解：如圖，ABCD是棱長為

2

a的正四面體作AO₁⊥平面BCD于O₁，則O₁為△BCD的中心，
則BO₁=

2

3

×

3

2

×

2

a=

6

3

a，
∴AO₁=

( 2 a)2-( 3 3 × 2 a)2

=

2 3

3

a．
在平面ABO₁內(nèi)作AB的垂直平分線交AO₁于O，
則AO=BO=CO=DO，
且O到平面BCD、ABC、ACD、ABD的距離相等
∴O是△ACD的內(nèi)切球，外接球球心
∵

AO

AB

=

AE

AO1

，∴AO=

2 a 2 × 2 a

6 3 × 2 a

=

6

4

×

2

a=

3

2

a．
∴OO₁=AO₁-AO=

2 3

3

a-

3

2

a=

3

6

a．
∴正四面體的外接球半徑R=AO=

3

2

a，
內(nèi)切球半徑r=OO₁=

3

6

a．

點評：本題考查正四面體的外接球半徑和內(nèi)切球半徑的求法，是中檔題，解題時要注意合理地化空間問題為平面問題．